MG 2003/5

Kaip spręsti fizikos uždavinius?

Doc. dr. VYTAUTAS POCIUS

Fizika nagrinėja gamtos pagrindus, todėl ja remiasi visi gamtos mokslai, medicina, technika ir netgi filosofija. Pats žodis fizika graikiškai reiškia gamtą. Gamtoje reiškiniai yra susiję, o tai apsunkina jų nagrinėjimą. Todėl tyrinėjant gamtą reikia atrinkti svarbiausius procesus, o antraeilius, ne tokius reikšmingus – atmesti. Gamtos tyrimo būdas yra nagrinėjamo gamtos proceso modeliavimas ir analizė. Fizikos uždaviniuose šis būdas išreiškiamas fizikinio proceso modeliu arba brėžiniu, o paskui modelio analizavimu.

Fizikinio proceso modelis arba brėžinys yra privalomas visiems fizikos uždaviniams. Brėžinyje turi būti parodyti duotieji ir ieškomieji fizikiniai dydžiai. Uždavinio analizė – svarbiausia fizikos uždavinio dalis. Čia remiantis brėžiniu taikomi fizikos dėsniai, kurie nusakomi žodžiais ir išreiškiami matematiškai. Toliau uždavinys sprendžiamas matematiškai.

Kai uždavinyje reikia rasti tik kokybinę fizikinio proceso savybę be fizikinių dydžių verčių matematinių skaičiavimų, tokie uždaviniai vadinami kokybiniais, arba žodiniais. Jeigu atliekami matematiniai skaičiavimai ir randamos konkrečios fizikinių dydžių vertės, tokie uždaviniai vadinami kiekybiniais. Fizikos studijų praktikoje daugiausiai yra kiekybinių uždavinių. Pagal taikomą matematinį būdą sprendžiant kiekybiniai uždaviniai skirstomi į: grafinius, aritmetinius, algebrinius, geometrinius, koordinatinius–projekcinius. Uždavinių sprendimo schema parodyta 1 paveikslėlyje.

1 pav. Kiekybinių uždavinių sprendimo schema

 Grafiniuose ir aritmetiniuose uždaviniuose matematinis aparatas nesudėtingas, todėl čia nebus nagrinėjamas.

Algebrinis fizikos uždavinio sprendimo būdas taikomas, kai fizikiniai dydžiai yra skaliariniai. Tada analizėje sudaroma tiek lygčių, kiek yra nežinomųjų ir toliau spręsti nėra sudėtinga (1 pvz.)

1 pavyzdys. Iš kokio mažiausio h aukščio dviratininkas, nemindamas pedalų, gali nuvažiuoti R = 4 m spindulio “mirties kilpos” takelį neatitrūkdamas nuo takelio viršutiniame kilpos A taške? (Trinties nevertinti).

Sutrumpintai užrašoma sąlyga: Brėžinys

R = 4 m

h - ?

2 pav.

Analizė. Dviratininkas apytiksliai laikomas materialiuoju tašku, nes jo matmenys mažesni už R ir h vertes bei nueitą kelią.

Dviratininko energija h aukštyje yra tik potencinė Eh = mgh. “Mirties kilpos“ aukščiausiame A taške dviratininkas turės kinetinę ir potencinę energiją, kuri remiantis brėžiniu išreiškiama taip:

EA ,

Čia m – dviratininko masė, v – jo greitis viršutiniame “mirties kilpos” A taške.

Dviratininką veikia gravitacijos ir atramos reakcijos jėgos, todėl galima taikyti mechaninės energijos tvermės dėsnį: uždaroje mechaninėje sistemoje, kurioje veikia tik gravitacijos arba tampros jėgos mechaninė energija išlieka pastovi:

Ek + Ep = const.

Todėl turi būti lygybė tarp dviratininko energijos h aukštyje ir “mirties kilpos” A taške. Matematiškai užrašoma taip:

,

arba

. (1)

(1) lygtyje yra du nežinomieji - h ir v. Tenka remiantis fizikos dėsniais sudaryti dar vieną lygtį, kurioje būtų minėtieji nežinomieji fizikiniai dydžiai.

Pagal kinematikos dėsnius dviratininkas judėdamas “mirties kilpoje” apskritimu turi įcentrinį pagreitį = v2/R. Jis išlaikys judėjimą apskritimu viršutinėje kilpos dalyje jeigu įcentrinio pagreičio vertė bus didesnė arba lygi laisvojo kritimo pagreičiui g = 9,81 m/s2. Todėl minimaliu atveju turi galioti tokia lygybė:

a = g arba v2/ R =g.

Iš čia išplaukia (2) lygtis:

v2 = g R . (2)

(1) ir (2) lygtys sudaro dviejų skaliarinių lygčių sistemą, kuri lengvai algebriškai išspendžiama. Gaunamas toks algebrinis sprendinys:

.

Į algebrinį sprendinį įstatomos fizikinių dydžių vertės su matavimo vienetais:

.

Geometrinis sprendimo būdas taikomas, kai analizėje gautose lygtyse fizikiniai dydžiai yra vektoriai. Šie vektoriai sudaro geometrinę figūrą, kurios kraštinės arba kampai atitinka ieškomąjį fizikinį dydį. Geometriškai nagrinėjant figūrą dažniausiai gaunami įvairūs trikampiai. Todėl taikomos Pitagoro, “kosinusų” arba “sinusų” teoremos, o kartais ir kitos trikampių savybės (2 pvz.).

2 pavyzdys. Molekulė, lekianti 600 m/s greičiu, atsimušė į indo sienelę 60o kritimo kampu ir tokiu pat kampu atšoko neprarasdama greičio vertės. Koks yra molekulės greičio pokytis?

Sąlyga Brėžinys

V1 = 600 m/s

V2 = 600 m/s

a = 60°

b = 60°

D v - ? 3 pav.

Analizė. Kritimo kampas a tas, kuris susidaro tarp molekulės judėjimo krypties ir kritimo vietoje iškelto statmens. Analogiškai molekulės atspindžio nuo sienelės kampas b pavaizduotas 3 paveikslėlyje.

Molekulės greičio pokytis yra lygus galinio ir pradinio greičių skirtumui. Bet greitis yra vektorius, t.y. rodyklė. Todėl gaunama tokia vektorinė lygtis:

Uždavinio geometrinis sprendimas. Taikoma vektorių atimties taisyklė: vektorių pradžios turi būti sutapatinamos viename taške, o sujungus vektorių galus gaunama atkarpa, atitinkanti abiejų vektorių skirtumą . Ši atkarpa yra vektorius, kurio krypties rodyklė ties tuo vektoriumi, iš kurio yra atimamas kitas vektorius, kaip parodyta 3 paveikslėlyje.

Trys vektoriai: ir sudaro trikampį OAB. Šio trikampio dvi kraštinės yra lygios (OB = OA) ir visi trys kampai taip pat lygūs - po 60° . Taigi ABO trikampis yra lygiakraštis. Todėl greičių pokyčio vertė yra .

Koordinatinis–projekcinis uždavinių sprendimo būdas taikomas, kai analizėje gauta vektorinė lygtis transformuojama į skaliarinę formą. Tada, nustačius atitinkamų vektorių projekcijas pasirinktose koordinačių ašyse, sudaromos skaliarinės darbinės lygtys. Toliau sprendimas atliekamas algebriškai. Lygčių turi būti tiek, kiek yra nežinomųjų (3 pvz.).

3 pavyzdys. Prie vertikalios ašies pritvirtintas l = 20 cm ilgio siūlas su m = 200 g masės rutuliuku. Kokiu kampu atsilenks siūlas nuo ašies, jeigu jos sukimosi dažnis yra f = 2 sūk/s? Kokia bus siūlo tampros jėga?

Sutrumpinta ir Brėžinys

sutvarkyta sąlyga

l = 20 cm =0,2 m

m = 200 g = 0,2 kg

f = 2 sūk/s; w = 2p f = 12,56 1/s

a - ? T - ? 4 pav .

Analizė. Rutuliukas pririštas prie siūlo judės r = l sin a spindulio apskritimu kampiniu greičiu w ir turės įcentrinį pagreitį ac =w 2 R =w 2 l sina , kurį sukurs dvi jėgos: mg ir T. Jeigu jėgos sukelia pagreitį, galima taikyti antrąjį Niutono dėsnį: visų kūną veikiančių jėgų suma yra lygi to kūno masės ir pagreičio sandaugai. Matematiškai užrašoma taip:

.

Atsižvelgus į uždavinyje nurodytas jėgas bus taip:

(1)

Gautoji (1) lygtis yra vektorinė su dviem nežinomaisiais: T ir a.

Uždavinio sprendimas koordinatiniu–projekciniu būdu. Parenkamos dvi ašys, kaip parodyta 4 pav. brėžinyje. (1) vektorinė lygtis transformuojama į dvi skaliarines lygtis taip:

mgx + Tx = max ,

mgy + Ty = may .

Remiantis brėžiniu nustatomos jėgų ir pagreičio projekcijos, kurios įstatomos į skaliarines lygtis. Tada gaunama štai kas:

T sin a = mw 2 lsina , (2)

T cos a - mg =0. (3)

(2) ir (3) lygtys išreiškia darbinių lygčių sistemą, iš kurios lengvai randama T ir a :

T = 0.2 kg × (12.56 1/s)2 × 0.2m = 6.3 N.

Šiame straipsnyje pateikti patys bendriausi fizikos uždavinių sprendimo būdai, taikomi vidurinėse ir aukštosiose mokyklose. Be to, atskiri fizikos klausimai dar turi savitų uždavinių sprendimų metodų.